Пропорции

СОДЕРЖАНИЕ

Вступление. Тема урока

Слово пропорция происходит от латинского корня и означает соразмерность. Люди часто используют его в повседневной жизни. Говорят, например, о пропорциях человеческого тела или о пропорциях в кулинарии. Сегодня мы узнаем, что вкладывают в это слово математики.

Пропорция. Иллюстрирующий пример и определение

Рассмотрим два отношения. Мы помним, что отношение это частное двух чисел.

47085320_3a6d_0132_3f49_015c2d23c359.png

Заметим, что и в первом и во втором случае значение частного равно трем. Перед нами два равных отношения. Запишем равенство.

491cf840_3a6d_0132_3f4a_015c2d23c359.png

Пятнадцать так относится к пяти, как двадцать четыре к восьми. Такое равенство и называют пропорцией. Иногда это равенство записывают в виде равенства обыкновенных дробей.

4a76d460_3a6d_0132_3f4b_015c2d23c359.png

Сформулируем определение: равенство двух отношений называют пропорцией.

Как записывают и читают пропорции. Что называют средними и крайними членами пропорции

С помощью букв пропорцию можно записать:

4bbb5cb0_3a6d_0132_3f4c_015c2d23c359.png

Отношение aкbравно отношению cк d. Иногда пропорцию читают по-другому: aтак относится кb, как cотноситсяк d. Участвующие в пропорции числа называют членами пропорции. Считают, что все члены отличны от нуля.

4cfd2260_3a6d_0132_3f4d_015c2d23c359.png

Числа aи dназывают крайним членами пропорции, а числа bиcсредними членами. Действительно, в первом варианте записи числа bиcнаходятся посередине, а числа aи dс краю.

4e496320_3a6d_0132_3f4e_015c2d23c359.png

Основное свойство пропорции. Иллюстрирующий пример и формулировка

В рассмотренной ранее пропорции 4f8ee110_3a6d_0132_3f4f_015c2d23c359.pngнайдем произведение ее средних и крайних членов.

50dbb8d0_3a6d_0132_3f50_015c2d23c359.png

Заметим, что два полученных произведения равны.

Сформулируем основное свойство пропорции в общем виде.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Верно и обратное утверждение.

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорцияверна.

Упражнение. Найти неизвестный член пропорции

Найдем неизвестный член пропорции, то есть решим пропорцию.

522a85d0_3a6d_0132_3f51_015c2d23c359.png

Числа 0,5 и 13 это крайние члены; числа aи 2 это средние члены. Воспользуемся основным свойством пропорции.

534f4430_3a6d_0132_3f52_015c2d23c359.png

54702750_3a6d_0132_3f53_015c2d23c359.png

55955230_3a6d_0132_3f54_015c2d23c359.png

Упражнение. Решить пропорцию

Решим пропорцию.

56c45770_3a6d_0132_3f55_015c2d23c359.png

Используя основное свойство пропорции, получим:

57ee30b0_3a6d_0132_3f56_015c2d23c359.png

591a2fe0_3a6d_0132_3f57_015c2d23c359.png

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель дроби на 10. Сократим полученную дробь на 4, а затем еще раз на 4.

5a40cd40_3a6d_0132_3f58_015c2d23c359.png

Х = 60.

Упражнение. Узнать является ли данная пропорция верной

Проверить являются ли данные пропорции верными:

5b6619a0_3a6d_0132_3f59_015c2d23c359.png

5c99e8a0_3a6d_0132_3f5a_015c2d23c359.png

В этом задании нужно проверить, действительно ли выполняется равенство между отношениями.

Решение

Найдем произведение средних и произведение крайних членов для каждой пропорции. Если полученные произведения равны, то пропорция верна. В противном же случае, пропорция является неверной.

5dca9e90_3a6d_0132_3f5b_015c2d23c359.pngверная пропорция, т. к. 5ef896a0_3a6d_0132_3f5c_015c2d23c359.png

5c99e8a0_3a6d_0132_3f5a_015c2d23c359.pngневерная пропорция, т. к. 60275ce0_3a6d_0132_3f5d_015c2d23c359.png

Как сконструировать новые верные пропорции из данной

Если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то получившееся новые пропорции тоже верны.

Это так потому, что при такой перестановке произведение крайних и средних членов не изменяется.

Разберем пример. Из данной пропорции 614b38f0_3a6d_0132_3f5e_015c2d23c359.pngполучить две новые, переставив крайние и средние члены. Сначала переставим средние члены (рис. 1).

6278c480_3a6d_0132_3f5f_015c2d23c359.png

Рис. 1. Перестановка средних членов

Действительно, произведение средних и крайних не изменилось, значит, полученная пропорция верна. Переставим крайние члены (рис. 2).

63a1bbb0_3a6d_0132_3f60_015c2d23c359.png

Рис. 2. Перестановка крайних членов

И в этом случае произведение средних и крайних не изменилось. Мы получили верную пропорцию.

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. Гимназия. 2006.
  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я.За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989.
  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В.Задания по курсу математика 56 класс. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 56. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 56 классов средней школы. М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Математика (Источник).
  2. Интернет-портал Math-portal.ru (Источник).

Домашнее задание

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012: № 762 (а, г, д), № 765, № 777.
  2. Другие задания: № 767, № 775.
Источники:

  • https://interneturok.ru/lesson/matematika/6-klass/otnosheniya-i-proporcii/proportsii-2
  • https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/09/20/proportsii

Комментировать
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит